# conformallab++

conformallab++ is a modern C++ reimplementation of
[ConformalLab](https://github.com/varylab/conformallab) —
the research software for discrete conformal geometry by
**Stefan Sechelmann** (TU Berlin, Institut für Mathematik).

The algorithmic foundation is his doctoral dissertation:

> Stefan Sechelmann —  
> **Variational Methods for Discrete Surface Parameterization: Applications and Implementation**  
> Doctoral thesis, Technische Universität Berlin, 2016.  
> DOI: [10.14279/depositonce-5415](https://depositonce.tu-berlin.de/items/8e2988b2-d991-45b5-aad5-9fb7988f3b2f)  
> License: CC BY-SA 4.0

The dissertation develops the variational framework for discrete conformal equivalence
on triangulations — discrete uniformization of Riemann surfaces, cone metrics, period
matrices — that forms the mathematical core of both the Java original and this C++ port.

**Original Java library:** [github.com/varylab/conformallab](https://github.com/varylab/conformallab) (Java, ~850 commits, v1.0.0 2018)  
**Author's website:** [sechel.de](https://sechel.de/) · **LinkedIn:** [linkedin.com/in/sechel](https://www.linkedin.com/in/sechel/)

The long-term goal is a **CGAL package** that brings discrete conformal maps (hyper-ideal, spherical, Euclidean) to the CGAL ecosystem using `CGAL::Surface_mesh` as the underlying half-edge data structure.

> **Status:** Phase 7 vollständig abgeschlossen. Alle drei Geometrien lösbar via Newton-Solver (SimplicialLDLT + SparseQR-Fallback). Priority-BFS-Layout in ℝ²/S²/Poincaré-Disk mit exakter hyperbolischer Trilateration, Gauss–Bonnet, Tree-Cotree-Schnittgraph, Möbius-Holonomie, Periodenmatrix (Genus 1), Fundamentalbereich-Polygon, halfedge_uv-Texturatlas. JSON/XML-Serialisierung, vollständige CLI-App. **158 Tests, 2 skipped**.

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## Features

| Bereich | Status |
|---------|--------|
| Clausen / Lobachevsky / ImLi₂ Funktionen | ✅ Phase 1 |
| Hyper-ideal Geometrie (ζ, lᵢⱼ, αᵢⱼ, σᵢ, σᵢⱼ) | ✅ Phase 2 |
| CGAL `Surface_mesh` Infrastruktur + Mesh-Builder | ✅ Phase 3a |
| Hyper-ideal Funktional (Energie + Gradient) | ✅ Phase 3b |
| Sphärisches Funktional (Energie + Gradient + Gauge-Fix) | ✅ Phase 3c/3e |
| Euklidisches Funktional (Energie + Gradient) | ✅ Phase 3d |
| Euklidischer Hessian (Kotangenten-Laplace, Pinkall–Polthier) | ✅ Phase 3f |
| Sphärischer Hessian (∂α/∂u aus Kosinussatz) | ✅ Phase 3f |
| Hyper-ideal Hessian (numerisch FD, symmetrisiert) | ✅ Phase 4a |
| Newton-Solver — alle drei Geometrien | ✅ Phase 4a |
| **SparseQR-Fallback** für rangdefiziente H (Gauge-Moden) | ✅ Phase 4a |
| Mesh I/O (CGAL::IO — OFF / OBJ / PLY) | ✅ Phase 4b |
| End-to-End-Pipeline-Tests | ✅ Phase 4c |
| **Beispiel-Programme** (headless + interaktiver Viewer) | ✅ Phase 4d |
| **BFS-Layout** (ℝ², S², Poincaré-Disk) | ✅ Phase 5 |
| **CLI-App** (`conformallab_core`) | ✅ Phase 5 |
| **JSON + XML Serialisierung** | ✅ Phase 5 |
| **Gauss–Bonnet Check + Enforce** | ✅ Phase 6 |
| **Tree-Cotree-Schnittgraph** (2g Naht-Kanten) | ✅ Phase 6 |
| **Exakte hyperbolische Trilateration** (Möbius + Kosinussatz) | ✅ Phase 6 |
| **Layout-Normalisierung** (PCA-Zentrierung / Möbius-Zentrierung) | ✅ Phase 6 |
| **Priority-BFS** (Min-Heap über BFS-Tiefe, minimiert Fehlerakkumulation) | ✅ Phase 7 |
| **MobiusMap** — T(z)=(az+b)/(cz+d), from_three, compose, inverse | ✅ Phase 7 |
| **halfedge_uv** — Naht-bewusstes UV pro Halfedge (GPU-Texturatlas) | ✅ Phase 7 |
| **Möbius-Holonomie** — SU(1,1)-Isometrie pro Schnitt-Kante (hyperbolisch) | ✅ Phase 7 |
| **Periodenmatrix** — τ = ω₂/ω₁ ∈ ℍ, SL(2,ℤ)-Reduktion (Genus 1) | ✅ Phase 7 |
| **Fundamentalbereich** — CCW-Parallelogramm, Kachelkopien | ✅ Phase 7 |
| Analytischer HyperIdeal-Hessian (ζ-Kette) | ❌ Phase 8 geplant |
| Inversive-Distance-Funktional (Luo 2004) | ❌ nicht portiert |
| Vollständige globale Uniformisierung Genus g ≥ 2 | ❌ Phase 8 geplant |
| Periodenmatrix Siegel Ω (g×g, g ≥ 2) | ❌ Phase 8 geplant |

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## Quick Start — CLI-App

```bash
cmake -S code -B build -DWITH_CGAL=ON
cmake --build build -j4

# Konformes Layout für beliebige OFF/OBJ/PLY-Netze
./bin/conformallab_core -i input.off -g euclidean -o layout.off -j result.json -x result.xml

# Geometrien: euclidean | spherical | hyper_ideal
./bin/conformallab_core -i input.off -g spherical -o sphere.off

# Interaktiver Viewer
./bin/conformallab_core -i input.off -s
```

### Beispiel-Programme

```bash
./build/examples/example_layout    [input.off] [layout.off] [result.json] [result.xml]
./build/examples/example_euclidean [input.off] [output.off]
./build/examples/example_hyper_ideal [input.off] [output.off]
./build/examples/example_viewer    [input.off]   # interaktiv (WITH_VIEWER)
```

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## Bibliotheks-Nutzung

### Minimale euklidische Pipeline

```cpp
#include "conformal_mesh.hpp"
#include "mesh_io.hpp"
#include "euclidean_functional.hpp"
#include "newton_solver.hpp"
#include "layout.hpp"

using namespace conformallab;

int main() {
    ConformalMesh mesh = load_mesh("input.off");

    auto maps = setup_euclidean_maps(mesh);
    compute_euclidean_lambda0_from_mesh(mesh, maps);

    // DOFs zuweisen — ersten Vertex pinnen (Gauge-Fix)
    auto vit = mesh.vertices().begin();
    maps.v_idx[*vit++] = -1;
    int idx = 0;
    for (; vit != mesh.vertices().end(); ++vit)
        maps.v_idx[*vit] = idx++;

    // Zielwinkel: natürliches Gleichgewicht (x* = 0)
    std::vector<double> x0(idx, 0.0);
    auto G0 = euclidean_gradient(mesh, x0, maps);
    for (auto v : mesh.vertices()) {
        int iv = maps.v_idx[v];
        if (iv >= 0) maps.theta_v[v] -= G0[iv];
    }

    auto res = newton_euclidean(mesh, x0, maps);
    if (res.converged)
        save_mesh("output.off", mesh);
    return res.converged ? 0 : 1;
}
```

### Layout + Holonomie (geschlossene Flächen)

```cpp
#include "layout.hpp"
#include "cut_graph.hpp"
#include "period_matrix.hpp"
#include "fundamental_domain.hpp"

// Schnittgraph berechnen (Tree-Cotree, 2g Kanten)
CutGraph cg = compute_cut_graph(mesh);

// Layout mit Holonomie-Tracking
HolonomyData hol;
Layout2D lay = euclidean_layout(mesh, res.x, maps, &cg, &hol, /*normalise=*/true);

// Periodenmatrix (Genus 1)
PeriodData pd = compute_period_matrix(hol);   // τ = ω₂/ω₁ ∈ ℍ, SL(2,ℤ)-reduziert
std::cout << "τ = " << pd.tau << "\n";

// Fundamentalbereich-Parallelogramm
FundamentalDomain fd = compute_fundamental_domain(hol);
// fd.vertices  — 4 Ecken (CCW)
// fd.generators — ω₁, ω₂

// Kachelkopie für Universalüberlagerung
Layout2D tile = tiling_copy(lay, fd.generators[0], fd.generators[1], 1, -1);

// halfedge_uv — Naht-bewusstes UV pro Halfedge (GPU-Texturatlas)
// lay.halfedge_uv[h.idx()] = UV von source(h) aus Sicht von face(h)
```

### HyperIdeal-Geometrie

```cpp
auto maps = setup_hyper_ideal_maps(mesh);
int n = assign_all_dof_indices(mesh, maps);
auto result = newton_hyper_ideal(mesh, x0, maps);

// Möbius-Holonomie (SU(1,1)-Isometrien pro Schnitt-Kante)
HolonomyData hol;
Layout2D lay = hyper_ideal_layout(mesh, result.x, maps, &cg, &hol);
// hol.mobius_maps[i] = T_i  (Möbius-Abbildung für i-te Schnitt-Kante)
```

### SparseQR-Fallback direkt nutzen

```cpp
#include "newton_solver.hpp"

bool used_fallback = false;
auto dx = conformallab::solve_linear_system(H, rhs, &used_fallback);
if (used_fallback)
    std::cout << "SparseQR verwendet (H ist rangdefizient)\n";
```

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## Build-Modi

| Modus | CMake-Flags | Was wird gebaut | System-Deps |
|-------|------------|-----------------|-------------|
| **Nur Tests** (Standard / CI fast) | *(keine)* | `conformallab_tests` — 36 Tests | keine |
| **CGAL-Tests headless** (CI full) | `-DWITH_CGAL_TESTS=ON` | `conformallab_cgal_tests` — 158 Tests | Boost |
| **Vollständig** (lokal mit Viewer) | `-DWITH_CGAL=ON` | + CLI, Beispiel-Programme, interaktiver Viewer | Boost + Wayland/X11 |

**`-DWITH_CGAL_TESTS=ON`** ist der empfohlene CI-Modus: kein GLFW, kein wayland-scanner, kein Display benötigt.  
**`-DWITH_CGAL=ON`** aktiviert automatisch den Viewer — nur für lokale Entwicklung mit Display.

Externe Abhängigkeiten sind als Tarballs in `code/deps/tarballs/` enthalten und werden beim CMake-Configure-Schritt extrahiert (GTest via `FetchContent`). **Boost** wird nur mit `-DWITH_CGAL_TESTS=ON` oder `-DWITH_CGAL=ON` benötigt (Header-Only durch CGAL 6.x).

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## Voraussetzungen

| Tool | Minimum |
|------|---------|
| C++ Compiler (GCC oder Clang) | C++17 |
| CMake | 3.20 |
| Boost Headers | 1.70 *(nur mit `-DWITH_CGAL_TESTS=ON` oder `-DWITH_CGAL=ON`)* |

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## Einstieg

```bash
git clone https://codeberg.org/TMoussa/ConformalLabpp
cd ConformalLabpp
```

### Nur Tests (CI-Standard — keine System-Abhängigkeiten)

```bash
cmake -S code -B build
cmake --build build --target conformallab_tests -j$(nproc)
ctest --test-dir build --output-on-failure
```

### CGAL-Tests headless (CI — kein Display, kein wayland-scanner)

```bash
# benötigt: apt install libboost-dev  (Ubuntu)  /  brew install boost  (macOS)
cmake -S code -B build -DWITH_CGAL_TESTS=ON
cmake --build build --target conformallab_cgal_tests -j$(nproc)
ctest --test-dir build -R "^cgal\." --output-on-failure
```

Erwartet: **158 Tests bestanden, 2 skipped** (die zwei `@Ignore`-Hessian-Stubs).

### Vollständig lokal (CLI + Beispiele + interaktiver Viewer)

```bash
# benötigt zusätzlich: Wayland/X11 dev-Pakete (wayland-scanner, libx11-dev …)
cmake -S code -B build -DWITH_CGAL=ON
cmake --build build -j$(nproc)
ctest --test-dir build -R "^cgal\." --output-on-failure
./build/examples/example_layout
./build/examples/example_viewer data/off/example.off
./bin/conformallab_core -i input.off -g euclidean -o layout.off
```

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## Öffentliche Header (`code/include/`)

| Header | Beschreibung |
|--------|-------------|
| `clausen.hpp` | Clausen Cl₂, Lobachevsky Л, ImLi₂ |
| `hyper_ideal_geometry.hpp` | ζ-Funktionen, lᵢⱼ, αᵢⱼ, σᵢ, σᵢⱼ |
| `hyper_ideal_utility.hpp` | Tetraeder-Volumen (Meyerhoff / Kolpakov–Mednykh) |
| `hyper_ideal_functional.hpp` | HyperIdeal Energie + Gradient auf `ConformalMesh` |
| `hyper_ideal_hessian.hpp` | HyperIdeal Hessian (numerisch FD, symmetrisiert) |
| `hyper_ideal_visualization_utility.hpp` | Poincaré-Disk-Projektion, Umkreis-Helfer |
| `spherical_geometry.hpp` | Sphärische Bogenlänge, Halbwinkelformel |
| `spherical_functional.hpp` | Sphärisch: Energie + Gradient + Gauge-Fix |
| `spherical_hessian.hpp` | Sphärischer Hessian (∂α/∂u, Kosinussatz) |
| `euclidean_geometry.hpp` | Euklidischer Eckenwinkel (t-Wert / atan2) |
| `euclidean_functional.hpp` | Euklidisch: Energie + Gradient |
| `euclidean_hessian.hpp` | Kotangenten-Laplace Hessian (Pinkall–Polthier) |
| `newton_solver.hpp` | `newton_{euclidean,spherical,hyper_ideal}` + öffentliches `solve_linear_system` |
| `conformal_mesh.hpp` | `ConformalMesh` = `CGAL::Surface_mesh<Point3>` + Property-Map-Helfer |
| `mesh_builder.hpp` | `make_triangle` / `make_tetrahedron` / `make_quad_strip` / `make_fan` / … |
| `mesh_io.hpp` | `read_mesh` / `write_mesh` / `load_mesh` / `save_mesh` |
| `mesh_utils.hpp` | CGAL → Eigen Konvertierung (`cgal_to_eigen`) |
| `serialization.hpp` | `save/load_result_json` + `save/load_result_xml` |
| `gauss_bonnet.hpp` | `euler_characteristic`, `genus`, `gauss_bonnet_sum/rhs/deficit`, `check_gauss_bonnet`, `enforce_gauss_bonnet` |
| `cut_graph.hpp` | `CutGraph` + `compute_cut_graph` (Tree-Cotree, Erickson–Whittlesey 2005) |
| `layout.hpp` | `euclidean/spherical/hyper_ideal_layout` → `Layout2D/3D`; `MobiusMap`; `halfedge_uv`; Priority-BFS; `HolonomyData`; `normalise_*` |
| `period_matrix.hpp` | `PeriodData`, `compute_period_matrix`, `reduce_to_fundamental_domain`, `is_in_fundamental_domain` |
| `fundamental_domain.hpp` | `FundamentalDomain`, `compute_fundamental_domain_{genus1,}`, `tiling_copy`, `tiling_neighbourhood` |
| `constants.hpp` | `conformallab::PI`, `TWO_PI` |

---

## Projektstruktur

```
code/
├── include/                          # Alle öffentlichen Header (Header-Only-Bibliothek)
│   ├── conformal_mesh.hpp
│   ├── mesh_builder.hpp
│   ├── mesh_io.hpp / mesh_utils.hpp
│   ├── newton_solver.hpp             # 3 Newton-Solver + solve_linear_system
│   ├── layout.hpp                    # Priority-BFS, MobiusMap, halfedge_uv, Holonomie
│   ├── serialization.hpp
│   ├── gauss_bonnet.hpp
│   ├── cut_graph.hpp                 # Tree-Cotree
│   ├── period_matrix.hpp             # τ ∈ ℍ, SL(2,ℤ)-Reduktion (Genus 1)
│   ├── fundamental_domain.hpp        # Parallelogramm, Kacheln; 4g-Polygon TODO Phase 8
│   ├── hyper_ideal_{functional,hessian,geometry,utility,visualization_utility}.hpp
│   ├── spherical_{functional,hessian,geometry}.hpp
│   ├── euclidean_{functional,hessian,geometry}.hpp
│   ├── clausen.hpp
│   └── constants.hpp
├── examples/
│   ├── example_euclidean.cpp
│   ├── example_hyper_ideal.cpp
│   ├── example_layout.cpp            # Solve → Layout → OFF/JSON/XML + Round-Trip
│   └── example_viewer.cpp            # Interaktiver libigl-Viewer
├── src/
│   ├── apps/v0/conformallab_cli.cpp  # CLI-App (Phase 5)
│   └── viewer/simple_viewer.cpp
├── tests/
│   ├── *.cpp                         # conformallab_tests (kein CGAL)
│   └── cgal/
│       ├── test_conformal_mesh.cpp           # 14 Tests
│       ├── test_hyper_ideal_functional.cpp   #  7 Tests
│       ├── test_spherical_functional.cpp     # 12 Tests (1 skipped)
│       ├── test_euclidean_functional.cpp     # 11 Tests (1 skipped)
│       ├── test_euclidean_hessian.cpp        #  9 Tests
│       ├── test_spherical_hessian.cpp        #  8 Tests
│       ├── test_newton_solver.cpp            # 14 Tests
│       ├── test_mesh_io.cpp                  #  9 Tests
│       ├── test_pipeline.cpp                 #  5 Tests
│       ├── test_layout.cpp                   #  8 Tests (Layout + JSON/XML)
│       ├── test_phase6.cpp                   # 26 Tests (GB, CutGraph, Trilateration)
│       └── test_phase7.cpp                   # 37 Tests (MobiusMap, Priority-BFS,
│                                             #   halfedge_uv, Periodenmatrix, FD)
└── deps/
    ├── eigen-3.4.0/
    ├── CGAL-6.1.1/
    ├── libigl-2.6.0/
    ├── glfw-3.4/
    └── single_includes/              # CLI11, json.hpp
```

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## Test-Suiten

### `conformallab_tests` (CI — immer gebaut)

Reine Mathe-Tests, nur Eigen: Clausen / Lobachevsky / ImLi₂, Hyper-ideal Geometrie, Tetraeder-Volumina.

### `conformallab_cgal_tests` (`-DWITH_CGAL_TESTS=ON` headless / `-DWITH_CGAL=ON` voll)

| Suite | Tests | Was geprüft wird |
|-------|------:|-----------------|
| `ConformalMeshTopology` | 4 | Euler-Charakteristik, Vertex/Edge/Face-Anzahl |
| `ConformalMeshTraversal` | 4 | Halfedge-Iteration, Valenz, Opposite |
| `ConformalMeshProperties` | 5 | Property-Maps (λ, θ, idx, α, Geometrietyp) |
| `ConformalMeshValidity` | 1 | CGAL-Validität für alle Factory-Meshes |
| `HyperIdealFunctional` | 7 | FD-Gradient-Checks + Hessian-Symmetrie |
| `SphericalFunctional` | 12 | Winkelformel + Gradient + Gauge-Fix (1 skipped) |
| `EuclideanFunctional` | 11 | Winkelformel + Gradient (1 skipped) |
| `EuclideanHessian` | 9 | Kotangenten-Laplace-Struktur, FD-Übereinstimmung, PSD, Nullraum |
| `SphericalHessian` | 8 | Ableitungskorrektheit, NSD am Gleichgewicht |
| `NewtonSolver` | 11 | Konvergenz (Eucl. ×3, Sphär. ×4, HyperIdeal ×4) |
| `SparseQRFallback` | 3 | Full-Rank-LDLT · singuläre Matrix → QR · geschlossenes Mesh |
| `MeshIO` | 9 | OFF/OBJ Round-Trips, Fehlerbehandlung |
| `Pipeline` | 5 | End-to-End: Build → Setup → Solve → Export → Reload |
| `Layout` | 8 | Kantenlängen-Erhaltung (Eucl./Sphär.), Poincaré-Disk |
| `Serialization` | 2 | JSON- und XML-Round-Trips (DOF + Layout) |
| `GaussBonnet` | 8 | χ, Genus, Summe/RHS, Defizit, Check, Enforce |
| `CutGraph` | 6 | Tree-Cotree, offene/geschlossene Meshes, Flag–Index-Konsistenz |
| `HyperbolicTrilateration` | 4 | Möbius + Kosinussatz: exakte Abstände, Disk-Inneres, off-origin |
| `Normalisation` | 4 | Eukl. Schwerpunkt, Längenverhältnisse, Möbius-Zentrierung |
| `MobiusMap` | 8 | Identity, Inverse, Compose, from_three, apply(Vector2d) |
| `BestRootFace` | 2 | Gültige Wurzel-Fläche, Interior-Bonus |
| `HalfedgeUV` | 4 | Größe = #Halfedges, Naht-Konsistenz, Randhalfedges = 0 |
| `PriorityBFS` | 3 | Erfolg, kein Seam bei offenen Meshes, alle Vertices platziert |
| `NormaliseEuclidean` | 2 | UV-Schwerpunkt = 0, halfedge_uv-Schwerpunkt = 0 |
| `PeriodMatrix` | 7 | τ ∈ ℍ, SL(2,ℤ)-Reduktion, Ausnahme außerhalb ℍ |
| `FundamentalDomain` | 7 | Genus-1-Parallelogramm CCW, Generatoren, g>1 leer |
| `TilingCopy/Neighbourhood` | 4 | Verschiebung korrekt, Anzahl Kacheln |
| **Gesamt** | **158** | **2 skipped** (Hessian-Stubs, identisch mit Java `@Ignore`) |

---

## Newton-Solver & SparseQR-Fallback

`newton_solver.hpp` stellt drei Solver mit einheitlicher Schnittstelle bereit:

```
NewtonResult newton_euclidean  (mesh, x0, maps [, tol, max_iter])
NewtonResult newton_spherical  (mesh, x0, maps [, tol, max_iter])
NewtonResult newton_hyper_ideal(mesh, x0, maps [, tol, max_iter, hess_eps])
```

Jede Iteration: Gradient **G** → Hessian **H** → löse **H·Δx = −G** (SimplicialLDLT, Fallback SparseQR) → Backtracking-Liniensuche.

| Geometrie | **G** | **H**-Vorzeichen |
|-----------|-------|-----------------|
| Euklidisch | Θ_v − Σα_v | PSD → LDLT auf H |
| Sphärisch | Θ_v − Σα_v | NSD → LDLT auf **−H** |
| HyperIdeal | Σβ_v − Θ_v | PSD → LDLT auf H |

**SparseQR-Fallback** (`solve_linear_system`): Bei rangdefizientem **H** (Gauge-Moden bei geschlossenen Meshes ohne gepinnten Vertex) findet SparseQR den minimalen Newton-Schritt orthogonal zum Nullraum.

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## Mathematischer Umfang — C++ vs. Java-Original

| Mathematische Schicht | Java ConformalLab | conformallab++ |
|---|---|---|
| Euklidisches Funktional — Energie, Gradient | ✅ | ✅ |
| Sphärisches Funktional — Energie, Gradient, Gauge-Fix | ✅ | ✅ |
| HyperIdeal Funktional — Energie, Gradient | ✅ | ✅ |
| Inversive-Distance-Funktional (Luo 2004) | ✅ | ❌ nicht portiert |
| Euklidischer Hessian — Kotangenten-Laplace | ✅ analytisch | ✅ analytisch |
| Sphärischer Hessian — ∂α/∂u aus Kosinussatz | ✅ analytisch | ✅ analytisch |
| HyperIdeal Hessian — ζ → lᵢⱼ → β/α Kette | ✅ analytisch | ⚠️ symmetrisches FD |
| Newton-Solver | ✅ | ✅ |
| SparseQR-Fallback für Gauge-Moden | ? | ✅ |
| Kegelmetriken — vorgeschriebenes Θ_v ≠ 2π | ✅ vollständig | ⚠️ nur Datenstruktur |
| Layout / Einbettung — ℝ² / H² / S² | ✅ | ✅ Priority-BFS, alle drei |
| Exakte hyperbolische Trilateration | ✅ Möbius | ✅ Möbius + Kosinussatz |
| halfedge_uv — Naht-bewusstes UV (Texturatlas) | ✅ | ✅ |
| Gauss–Bonnet Konsistenzprüfung | ✅ | ✅ |
| Tree-Cotree-Schnittgraph (2g Kanten) | ✅ | ✅ Erickson–Whittlesey |
| Holonomie / Monodromie — Euklidisch (Translationen) | ✅ | ✅ |
| Holonomie — Hyperbolisch (SU(1,1) Möbius-Mappe) | ✅ | ✅ |
| Periodenmatrix τ — Genus 1 (SL(2,ℤ)-reduziert) | ✅ | ✅ |
| Fundamentalbereich-Polygon — Genus 1 | ✅ | ✅ CCW-Parallelogramm |
| 4g-Polygon-Randlauf — Genus g > 1 | ✅ | ❌ TODO Phase 8 |
| Periodenmatrix Siegel Ω — Genus g ≥ 2 | ✅ | ❌ TODO Phase 8 |
| Globale Uniformisierung — Genus g ≥ 2 | ✅ | ❌ Phase 8 geplant |
| Clausen / Lobachevsky / ImLi₂ | ✅ | ✅ |
| Poincaré-Disk / Lorentz-Boost Visualisierung | ✅ | ✅ |
| Mesh I/O + Serialisierung | ✅ XML/CoHDS | ✅ OFF/OBJ/PLY + JSON/XML |
| Interaktiver Viewer | ✅ jReality | ✅ libigl/GLFW |

### HyperIdeal Hessian — numerisch vs. analytisch

Der analytische Hessian des HyperIdeal-Funktionals erfordert Differentiation durch die Kette `(bᵢ, aₑ) → lᵢⱼ → ζ₁₃/₁₄/₁₅ → αᵢⱼ / βᵢ` (vier Vertex-Typ-Kombinationen pro Kante). conformallab++ verwendet stattdessen einen symmetrisierten Finite-Differenzen-Hessian:

```
H[i,j] = ( G(x + ε·eⱼ)[i] − G(x − ε·eⱼ)[i] ) / (2ε)
```

O(ε²)-genau (≈ 10⁻¹⁰ relativer Fehler bei ε = 10⁻⁵), PSD durch strikte Konvexität (Springborn 2020), kostet n zusätzliche Gradient-Auswertungen pro Newton-Schritt. Für Meshes mit < 500 DOFs ist der Unterschied in der Wandzeit vernachlässigbar. Der analytische Hessian ist für Phase 8 geplant.

---

## Für Mathematiker — Bibliothek erweitern

### Mentales Modell

```
ConformalMesh           — Halfedge-Mesh (CGAL::Surface_mesh)
    + Property-Maps     — per-Vertex/Edge Daten (λ, θ, α, DOF-Index, …)

Maps-Struct             — sammelt alle Property-Maps für ein Funktional
    theta_v[v]          — Zielwinkel bei Vertex v  (Eingabe)
    v_idx[v]            — DOF-Index, oder −1 wenn gepinnt
    e_idx[e]            — DOF-Index für Kanten-DOFs (nur HyperIdeal)

x ∈ ℝⁿ                 — DOF-Vektor, den der Solver optimiert

evaluate_*(mesh, x, maps)  → { Energie, Gradient, … }
newton_*(mesh, x0, maps)   → { x*, Iterationen, converged, … }
```

Die Mesh-Geometrie (Vertex-Positionen) dient nur zur Initialisierung der Log-Kantenlängen λ°. Danach arbeitet der Solver ausschließlich im x-Raum.

### Neues Funktional hinzufügen

1. **Maps-Struct**: `setup_my_maps(mesh)` mit Property-Maps für λ, θ_v, v_idx
2. **Energie + Gradient**: Schleife über `mesh.faces()`, akkumuliere in `grad[v_idx[v]]`
3. **Gradient-Check**: Finite-Differenzen-Verifikation (Vorlage in jedem `test_*_functional.cpp`)
4. **Newton-Solver**: `solve_linear_system(H, -G, &used_fallback)` direkt nutzen

### Halfedge-Mesh navigieren

```cpp
for (auto f : mesh.faces()) {
    auto h0 = mesh.halfedge(f);
    auto h1 = mesh.next(h0);
    auto h2 = mesh.next(h1);

    Vertex_index v_opp = mesh.target(h2);  // dem Halfedge h0 gegenüberliegend
    int dof = maps.v_idx[v_opp];           // −1 = gepinnt

    bool is_boundary = mesh.is_border(mesh.opposite(h0));
}
```

### Neue Daten am Mesh befestigen

```cpp
auto [curv, created] = mesh.add_property_map<Vertex_index, double>("v:my_curv", 0.0);
curv[v] = 1.234;
```

### Schnell-Start-Checkliste

1. `examples/example_layout.cpp` lesen — zeigt die vollständige Pipeline in ~120 Zeilen
2. `cmake -S code -B build -DWITH_CGAL=ON && cmake --build build --target example_layout`
3. Gradient-Check-Test in `tests/cgal/` hinzufügen (beliebigen `GradientCheck_*`-Block kopieren)
4. Verschiedene Zielwinkel ausprobieren: `maps.theta_v[v] = M_PI / 3` für alle Innen-Vertices. Die Gauss–Bonnet-Bedingung Σ(2π − Θ_v) = 2π·χ(M) muss erfüllt sein.
5. Konvergenz beobachten: `NewtonResult` enthält `iterations` und `grad_inf_norm`

### Weiterführende Literatur

| Quelle | Bezug |
|--------|-------|
| Springborn — *Ideal Hyperbolic Polyhedra and Discrete Uniformization* (2020) | HyperIdeal-Funktional; ζ₁₃/₁₄/₁₅ in `hyper_ideal_geometry.hpp` |
| Pinkall, Polthier — *Computing Discrete Minimal Surfaces* (1993) | Kotangenten-Laplace in `euclidean_hessian.hpp` |
| Luo — *Combinatorial Yamabe Flow on Surfaces* (2004) | Inversive-Distance-Funktional (noch nicht portiert) |
| Bobenko, Springborn — *Variational Principles for Circle Patterns* (2004) | Hintergrund für das Winkelsum-Variationsprinzip |
| Erickson, Whittlesey — *Greedy Optimal Homotopy and Homology Generators* (SODA 2005) | Tree-Cotree-Algorithmus in `cut_graph.hpp` |

---

## Schlüssel-Designentscheidungen

**CGAL als CoHDS-Ersatz.** `CGAL::Surface_mesh<Point3>` ersetzt die Java-`CoHDS`-Halfedge-Datenstruktur. Vertex/Edge/Face/Halfedge-Deskriptoren sind typisierte Integer.

**Property-Maps.** `mesh.add_property_map<Vertex_index, double>("v:lambda", 0.0)` ersetzt das Java-Adapter/Decorator-Pattern.

**DOF-Vektor-Konvention.** Alle Funktionale verwenden `x` indiziert durch `v_idx[v]` / `e_idx[e]` (−1 = gepinnt). Einheitlich über alle drei Geometrien.

**Priority-BFS.** Faces werden in aufsteigender BFS-Tiefe verarbeitet (Min-Heap über `depth = max(depth[v_src], depth[v_tgt]) + 1`). Dies minimiert die Akkumulation von Trilaterations-Fehlern — je weiter eine Fläche vom Ursprung entfernt ist, desto später wird sie platziert.

**halfedge_uv-Semantik.** `halfedge_uv[h.idx()]` ist das UV von `source(h)` aus Sicht von `face(h)`. An Naht-Halfedges tragen die beiden gegenüberliegenden Halfedges unterschiedliche UV-Werte — so erhält jede Fläche ihre eigene Kopie eines Naht-Vertex für GPU-Texturatlas ohne Vertex-Duplizierung.

**HyperIdeal Hessian via FD.** Der analytische Hessian durch `ζ13/14/15 → lij → β/α` ist auf Phase 8 verschoben. Ein symmetrischer FD-Hessian ist O(ε²)-genau, PSD durch strikte Konvexität und für < 500 DOFs ausreichend.

**Sphärischer Hessian Vorzeichen.** Die sphärische Energie ist **konkav** (Hessian NSD). Newton löst `(−H)·Δx = G`, das Vorzeichen wird transparent in `newton_spherical` behandelt.

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## CI

Tests laufen automatisch bei Push auf `main`, `dev` und `claude/**`-Branches via selbst-gehostetem Gitea-Actions-Runner (`eulernest`, ARM64). **Nur `conformallab_tests` läuft in CI** (kein Boost/CGAL dort).

```bash
# CI-Image neu bauen und pushen
docker buildx build \
  --platform linux/arm64 \
  -f .gitea/docker/Dockerfile.ci-cpp \
  -t git.eulernest.eu/conformallab/ci-cpp:latest \
  --push \
  .gitea/docker/
```

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## Roadmap

> **Legende:**  ✅ abgeschlossen · 🔲 geplant
>
> **Grenze Portierung / neue Forschung:**  
> Phase 1–7 sind direkte Portierungen aus dem Java-Original bzw. seiner Dissertation.  
> Ab Phase 8 geht die Arbeit über den Umfang der Java-Bibliothek hinaus.  
> — Phase 8 (CGAL-Paket) ist **Infrastruktur**, kein neuer Algorithmus.  
> — Phase 9 (Inversive-Distance, Analytischer Hessian) ist **Portierung** ausstehender Java-Features.  
> — Phase 10+ ist **eigenständige Forschung**, die über das Java-Original hinausgeht.

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### ◼ Portierungsphase abgeschlossen

```
Phase 1   Clausen / Lobachevsky / ImLi₂                     ✅
Phase 2   Hyper-ideal Geometrie (ζ, lᵢⱼ, αᵢⱼ, σᵢ)         ✅
Phase 3   CGAL-Infrastruktur + alle drei Funktionale
          + analytische Hessians (Eucl. + Sphär.)            ✅
Phase 4   Newton-Solver (SimplicialLDLT + SparseQR-Fallback)
          + Mesh-I/O + Beispielprogramme                     ✅
Phase 5   Priority-BFS-Layout + CLI + JSON/XML               ✅  95 Tests

Phase 6   Layout-Parität I                                   ✅  121 Tests
          → gauss_bonnet.hpp  — χ, Genus, Σ(2π-Θ_v) Check + Enforce
          → cut_graph.hpp     — Tree-Cotree (Erickson–Whittlesey 2005), 2g Schnitt-Kanten
          → Exakte hyperbolische Trilateration (Möbius + Kosinussatz)
          → normalise_{euclidean,hyperbolic,spherical}

Phase 7   Layout-Parität II                                  ✅  158 Tests
          → MobiusMap  — T(z)=(az+b)/(cz+d), from_three, compose, inverse
          → halfedge_uv — naht-bewusstes UV pro Halfedge (GPU-Texturatlas)
          → Möbius-Holonomie als SU(1,1)-Isometrie (hyperbolisch)
          → period_matrix.hpp — τ = ω₂/ω₁ ∈ ℍ, SL(2,ℤ)-Reduktion
          → fundamental_domain.hpp — CCW-Parallelogramm, Kachelung
```

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### ◼ Infrastruktur (über Java-Bibliothek hinaus)

```
Phase 8   CGAL-Paket-Struktur                               🔲  (nächste Phase)

  Ziel: conformallab++ als eigenständiges CGAL-Paket, das in CGAL integriert
  werden kann und dessen Konventionen vollständig erfüllt.

  8a — Traits-Klasse & Konzepte
       → include/CGAL/Conformal_map_traits.h
         Trennt MeshType, KernelType, ScalarType vom Algorithmus.
         Ermöglicht Nutzung mit beliebigem CGAL-kompatiblem Mesh.
       → Konzept-Checks (static_assert / CGAL_concept_check)

  8b — Öffentliche CGAL-Header-Hierarchie
       → include/CGAL/Discrete_conformal_map.h  (zentraler Nutzer-Header)
       → include/CGAL/Conformal_newton_solver.h
       → include/CGAL/Conformal_layout.h
       → include/CGAL/Conformal_cut_graph.h
       → include/CGAL/conformal_map_package.h  (Package-Description)
       Alle bestehenden include/conformallab/*.hpp bleiben als Impl.-Detail.

  8c — Dokumentation im CGAL-Stil
       → doc/Conformal_map/PackageDescription.txt
       → doc/Conformal_map/fig/  (Pipeline-Diagramme)
       → Doxygen-Kommentare für alle öffentlichen Konzepte + Funktionen
       → User_manual.md + Reference_manual.md

  8d — CGAL-Testformat
       → test/Conformal_map/  (CMakeLists.txt im CGAL-Format)
       Bestehende GTest-Tests bleiben; CGAL-Tests kommen als zweites Format.

  8e — Declarative YAML-Pipeline
       → Leichtgewichtiges YAML-Format für reproduzierbare Experimente
         (Spezifikation bereits in doc/architecture/overall_pipeline.md)
       → Validator: prüft require/provide-Tokens vor der Ausführung
       → Einbindung in CLI-App: conformallab_core --pipeline experiment.yml
```

---

### ◼ Ausstehende Portierung (Java-Features noch nicht übertragen)

```
Phase 9   Verbleibende Java-Parität                         🔲

  9a — Inversive-Distance-Funktional (Luo 2004 / Bowers–Stephenson)
       → inversive_distance_functional.hpp  (folgt exakt dem Muster der
         bestehenden drei Funktionale — niedrigstes Risiko)
       → newton_inversive_distance()
       → Neue Test-Suite: test_inversive_distance.cpp

  9b — Analytischer HyperIdeal-Hessian
       → Direkte Ableitung durch die Kette
         (b_i, a_e) → l_ij → ζ₁₃/ζ₁₄/ζ₁₅ → α_ij / β_i
       → Ersetzt den symmetrischen FD-Hessian in hyper_ideal_hessian.hpp
       → Relevant für Meshes > 500 DOFs (aktueller FD-Hessian ist dort langsam)
       → Aufwand: ~2 Wochen (viele verschachtelte Fallunterscheidungen)

  9c — 4g-Polygon-Randlauf (Genus g > 1)
       → Boundary-Walk auf dem aufgeschnittenen Mesh
       → Befüllt fundamental_domain.hpp für g > 1 (aktuell: leeres Objekt)
       → Algorithmus-Skizze bereits als TODO(Phase 8) in fundamental_domain.hpp
```

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### ◼ Neue Forschung (über das Java-Original hinaus)

> Ab hier gibt es keine direkte Java-Referenzimplementierung mehr.
> Jedes Item ist eigenständige mathematische Arbeit.

```
Phase 10  Globale Uniformisierung Genus g ≥ 2               🔲  (Forschung)

  10a — Holomorphe Differentiale auf diskreten Flächen
        Integration ω_i längs der b-Zyklen des Schnittgraphen.
        Mathematische Grundlage: Bobenko–Springborn (2004), §6.

  10b — Siegel-Periodenmatrix Ω ∈ H_g (g×g, g ≥ 2)
        Ω_ij = ∫_{b_j} ω_i  — komplexe symmetrische Matrix,
        Im(Ω) positiv definit (Siegel-Oberhalbebene H_g).
        Reduktion auf den Siegel-Fundamentalbereich via Sp(2g,ℤ).

  10c — Vollständige Uniformisierung
        Für g ≥ 2: Einbettung als H²/Γ mit Γ ⊂ PSL(2,ℝ) Fuchssche Gruppe.
        Erfordert 10a + 10b + stabilen Cut-Graph für g ≥ 2 (Phase 9c).
```

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## Ursprung & Danksagung

conformallab++ wäre ohne die Grundlagenarbeit von **Stefan Sechelmann** nicht möglich.
Die Algorithmen, die Variationsformulierung und die Idee, diskrete konforme Geometrie
als Newton-Problem auf Winkel-Summen-Energie-Funktionalen zu behandeln, stammen aus:

| | |
|---|---|
| **Dissertation** | Stefan Sechelmann — *Variational Methods for Discrete Surface Parameterization: Applications and Implementation*, TU Berlin 2016 |
| **DOI** | [10.14279/depositonce-5415](https://depositonce.tu-berlin.de/items/8e2988b2-d991-45b5-aad5-9fb7988f3b2f) |
| **Java-Originalbibliothek** | [github.com/varylab/conformallab](https://github.com/varylab/conformallab) |
| **Website** | [sechel.de](https://sechel.de/) |
| **LinkedIn** | [linkedin.com/in/sechel](https://www.linkedin.com/in/sechel/) |

Die Dissertation steht unter Creative Commons Attribution ShareAlike 4.0 (CC BY-SA 4.0).

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## Lizenz

conformallab++ steht unter der MIT-Lizenz (siehe [LICENSE](LICENSE)).