docs: geometry-central Vergleich als optionalen Track einarbeiten

- phases.md: neue Sektion "Optional/Hypothetisch — geometry-central
  Cross-Comparison" mit GC-1 (Output-Vergleich, sofort möglich),
  GC-2 (Intrinsic Delaunay Pre-Conditioning, nach Phase 8) und
  GC-3 (Ptolemäischer Flip-Solver, hypothetisch Phase 10+)
- validation.md: neuer Abschnitt 9 mit Vergleichstabelle, Normalisierungs-
  abgleich, Zeitplan und Springborn-2020-Einordnung
- references.md: Gillespie–Springborn–Crane SIGGRAPH 2021 + Sharp 2019
  als geometry-central-Referenzen eingetragen; Klarstellung zu Springborn 2020
- validation.md: Testzähler 170→173 / 11 skips→1 skip korrigiert

Co-Authored-By: Claude Sonnet 4.6 <noreply@anthropic.com>

doc/math/references.md

@@ -26,6 +26,27 @@ Java reference implementation: [github.com/varylab/conformallab](https://github.
 
 ---
 
+## geometry-central cross-reference *(optional comparison track)*
+
+> Diese Referenzen beziehen sich auf eine alternative Implementierung desselben
+> mathematischen Problems. Sie sind keine Voraussetzung für conformallab++,
+> aber relevant für Kreuz-Validierung und mögliche algorithmische Adoptionen
+> (→ GC-1/2/3 im Phasen-Roadmap, → Abschnitt 9 in `validation.md`).
+
+| Reference | Relevanz |
+|---|---|
+| **Gillespie, Springborn, Crane** — *Discrete Conformal Equivalence of Polyhedral Surfaces*, ACM SIGGRAPH 2021. DOI: [10.1145/3450626.3459763](https://doi.org/10.1145/3450626.3459763) | Implementiert in **geometry-central**. Erweitert Springborn 2020 um intrinsische Triangulierungen und Ptolemäische Flips. Löst dasselbe DCE-Problem wie conformallab++, aber mit anderem Algorithmus. |
+| **Sharp, Soliman, Crane** — *Navigating Intrinsic Triangulations*, ACM SIGGRAPH 2019 | Algorithmische Grundlage für `SignpostIntrinsicTriangulation` in geometry-central — relevant für GC-2 (optionales Pre-Conditioning). |
+
+**Hinweis zu Springborn 2020:**  
+Das Papier *"Ideal Hyperbolic Polyhedra and Discrete Uniformization"*
+(Springborn, Discrete & Computational Geometry 2020) ist **in conformallab++
+bereits implementiert** — es ist die direkte Referenz für den HyperIdeal-Geometriemodus
+(`hyper_ideal_geometry.hpp`). Die geometry-central Implementierung (Gillespie 2021)
+baut auf diesem Papier auf und ergänzt es um Ptolemäische Flips.
+
+---
+
 ## Phase 10 references (future research)
 
 | Reference | Relevant for |

doc/math/validation.md

@@ -14,7 +14,7 @@ cmake --build build --target conformallab_cgal_tests
 ctest --test-dir build -R cgal --output-on-failure
 ```
 
-All 170 tests pass (11 skipped by design — see `doc/api/tests.md`).
+All 173 tests pass (1 skipped by design — see `doc/api/tests.md`).
 
 ---
 
@@ -191,11 +191,76 @@ These are the **holonomy consistency** checks implemented in `test_phase7.cpp`
 
 ---
 
+## 9 — Cross-validation with geometry-central *(optional / hypothetical)*
+
+> **Hinweis:** Dieser Abschnitt beschreibt eine mögliche externe Kreuz-Validierung,
+> die keine Voraussetzung für die Korrektheit der Implementierung ist.
+> Sie ist interessant, weil geometry-central denselben mathematischen Kern
+> implementiert (Gillespie, Springborn, Crane — SIGGRAPH 2021, aufbauend auf
+> Springborn 2020), aber mit einer anderen algorithmischen Strategie
+> (Ptolemäische Flips + intrinsische Triangulierungen statt Newton auf der
+> Original-Triangulierung).
+
+### Welche Outputs sind vergleichbar?
+
+| Output | conformallab++ | geometry-central | Vergleichbar? |
+|---|---|---|---|
+| u-Vektor (Skalierungsparameter) | `res.x` | `u` nach Yamabe flow | ✓ nach Normalisierung |
+| UV-Koordinaten | `layout.uv[v]` | konforme Parametrisierung | ✓ bis auf Möbius-Transformation |
+| Gauss-Bonnet Defekt | `gauss_bonnet_sum()` | implizit via Krümmungsfluss | ✓ (analytisch identisch) |
+| Anzahl Newton-Iterationen | `res.iterations` | Yamabe-Schritte | ~ (anderer Algorithmus) |
+| Period-Matrix τ | `pd.tau_reduced` | **nicht vorhanden** | ✗ |
+| Möbius-Holonomie | `hol.T_a, T_b` | **nicht vorhanden** | ✗ |
+
+### Normalisierungsabgleich
+
+Der u-Vektor in conformallab++ hat einen Freiheitsgrad (globale additive Konstante —
+Eichfreiheit nach Pin-Fixierung). geometry-central kann eine andere Konvention nutzen.
+Vor dem Vergleich normalisieren:
+
+```cpp
+// conformallab++: u zentrieren
+double mean_u = std::accumulate(x.begin(), x.end(), 0.0) / x.size();
+std::vector<double> x_norm(x.size());
+for (int i = 0; i < x.size(); ++i) x_norm[i] = x[i] - mean_u;
+
+// Dann mit geometry-central u-Vektor (ebenfalls zentriert) vergleichen:
+// max|x_norm[i] - gc_u[i]| < 1e-8  →  identischer Konvergenzpunkt
+```
+
+### Wann ist der Vergleich sinnvoll?
+
+| Zeitpunkt | Was ist möglich |
+|---|---|
+| **Jetzt (Phase 7)** | Manueller Vergleich mit denselben `.off`/`.obj` Testnetzen |
+| **Nach Phase 8** | Automatisiertes Vergleichsskript (Python oder separates C++-Binary) |
+| **Phase 10 (Forschung)** | Algorithmus-Vergleich: Newton vs. Ptolemäische Flips auf schwierigen Netzen |
+
+### Voraussetzungen für einen fairen Vergleich
+
+1. Identische Eingabenetze (OFF/OBJ, gleiche Vertex-Orientierung)
+2. Gleiche Gauss-Bonnet-Zielkrümmungen (Θᵥ = 2π für alle v, geschlossene Fläche)
+3. u-Normalisierung abgeglichen (zentriert, gleiche Eichfixierung)
+4. Konvergenztoleranz synchronisiert (max. Gradientnorm < 1e-8)
+
+### Verbindung zur Literatur
+
+Das Springborn 2020-Papier ("Ideal Hyperbolic Polyhedra and Discrete Uniformization")
+ist **in conformallab++ bereits implementiert** — es ist die mathematische Grundlage
+für den HyperIdeal-Geometriemodus (Phase 2/3). Die geometry-central Implementierung
+basiert auf der Weiterentwicklung von Gillespie, Springborn & Crane (2021), die
+denselben Variationsprinzip von Bobenko–Springborn 2004 verwendet, aber zusätzlich
+Ptolemäische Flips einsetzt, um die Triangulierung während der Optimierung zu
+verbessern — eine Idee, die in conformallab++ noch nicht implementiert ist (→ GC-2
+im Phasen-Roadmap).
+
+---
+
 ## 8 — Checklist for an independent reviewer
 
 Run these in order to validate the implementation:
 
-- [ ] `ctest --test-dir build -R cgal --output-on-failure` → 170 tests pass, 11 skip
+- [ ] `ctest --test-dir build -R cgal --output-on-failure` → 173 tests pass, 1 skip
 - [ ] `cgal.GaussBonnet.*` all pass → topology is correctly read from mesh
 - [ ] `cgal.EuclideanFunctional.GradientCheck_*` pass → energy = integral of gradient
 - [ ] `cgal.PeriodMatrix.TauInFundamentalDomain_*` pass → SL(2,ℤ) reduction correct

doc/roadmap/phases.md

@@ -93,6 +93,63 @@ Java features from `de.varylab.discreteconformal` not yet in C++:
 
 ---
 
+## ◼ Optional / Hypothetical — geometry-central Cross-Comparison
+
+> **Status: keine geplante Phase — rein explorativ.**  
+> Diese Punkte sind keine Voraussetzung für Phase 8–10. Sie sind
+> interessant, weil geometry-central (Keenan Crane, CMU) auf denselben
+> mathematischen Grundlagen wie conformallab++ aufbaut — insbesondere auf
+> **Springborn 2020** und der direkten Weiterentwicklung durch
+> **Gillespie, Springborn & Crane (SIGGRAPH 2021)**.  
+> Der entscheidende Unterschied: geometry-central löst dasselbe Problem
+> (diskrete konforme Äquivalenz) mit **intrinsischen Triangulierungen +
+> Ptolemäischen Flips**, während conformallab++ **Newton auf der
+> Original-Triangulierung** anwendet.
+
+```
+GC-1  [optional, jetzt möglich]
+      Mathematischer Output-Vergleich
+        → gleiche Testnetze (cathead.obj, brezel.obj, torus_4x4.off) in
+          beide Bibliotheken laden
+        → UV-Koordinaten, u-Vektor, Residualnorm vergleichen
+        → Normalisierungskonventionen abgleichen (u-Mittelwert, Skalierung)
+      Ziel: unabhängige Kreuz-Validierung der Konvergenzpunkte.
+      Aufwand: kleines Python/C++ Vergleichsskript, kein Bibliotheks-Umbau.
+
+GC-2  [optional, sinnvoll nach Phase 8]
+      Intrinsic Delaunay Pre-Conditioning
+        → Vor dem Newton-Solver: geometry-central SignpostIntrinsicTriangulation
+          auf die Eingabe anwenden
+        → Ptolemäische Flips konditionieren die Hessian-Matrix vor
+        → Hypothese: weniger Newton-Iterationen auf nicht-Delaunay-Eingaben
+        → Implementierbar als optionaler cmake-Flag: -DWITH_GC_PRECOND=ON
+      Abhängigkeit: geometry-central als optionale externe Abhängigkeit
+      (header-only Teile genügen für den Flip-Algorithmus).
+
+GC-3  [hypothetisch, Phase 10+ Forschung]
+      Ptolemäische Flip-basierter Solver als alternativer Backend
+        → Statt Newton: Ptolemäische Flips + penultimate-step Normalisierung
+          (Gillespie–Springborn–Crane 2021 Algorithmus)
+        → Vergleich: Konvergenzradius, Robustheit auf pathologischen Netzen,
+          numerische Stabilität auf hohen Genus-Flächen
+        → Für conformallab++ interessant, weil der Newton-Ansatz auf
+          stark nicht-Delaunay Netzen (z.B. nach Remeshing) instabil
+          werden kann.
+      Keine Implementierung geplant — Konzeptnotiz für Phase 10-Forschung.
+```
+
+**Verbindung zur Literatur:**  
+Das Springborn 2020-Papier ("Ideal Hyperbolic Polyhedra and Discrete
+Uniformization") ist in conformallab++ als HyperIdeal-Geometriemodus
+bereits implementiert (Phase 2/3). Die Gillespie–Springborn–Crane
+2021-Erweiterung — die geometry-central implementiert — ergänzt dies um
+intrinsische Triangulierungen und macht den Algorithmus robust gegen
+schlechte Eingangs-Triangulierungen. Beide teilen denselben
+mathematischen Kern (diskrete konforme Äquivalenz, Gauss–Bonnet,
+Variationsprinzip von Bobenko–Springborn 2004).
+
+---
+
 ## ◼ New research — Phase 10+
 
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